ملكة الرياضيات

     

خريطة الموقع

الصفحة الأولى

دليل الموضوعات

عن هذا الموقع

ساهم معنا

أقتراحات

أتصل بنا

مواقع للزيارة

قديما كانوا يقولون أن الرياضيات ملكة العلوم و نظرية الأعداد ملكة الرياضيات .

نظرية الأعداد هي أكثر الموضوعات التي أهتم بها الرياضيين لجمالها فقط , فهي لم يكن لها تطبيقات هامة , ولكن بعد اختراع الكومبيوتر , أصبحت ذات أهمية بالغة و هذا ما سنلقي علية الضوء في الأعداد القادمة إن شاء الله .

نظرية الأعداد تهتم فقط بالأعداد الصحيحة و لا وجود فيها للأرقام العشرية ,فهي تهتم بخواص الأرقام ,مثل متي يكون الرقم أولي ؟
و سنحاول أن نستكشف في هذا العدد و العدد القادم كيف استطاع هذا المجال اجتذاب عدد كبير من الرياضيين الهواة و المتخصصين علي مر العصور.

نظريات القسمة :

إذا قسمنا 7 على 3 نجد أنة يساوي ?2 أي أن باقي القسمة يساوي 1 , إذا قسمنا a على b وكان باق القسمة يساوي 0 فنقول أن a يقسم b . فمثلا 6 تقسم 3 .

هناك بعض النظريات البسيطة عن القسمة مثل :


  • 1) العدد يقسم على 2 إذا كانت أخر خانة به تقسم على 2 . (مثلا 156 تقسم على 2 لأن 6 تقسم على 2 )
  • 2) العدد يقسم على 3 إذا كان مجموع خاناته يقسم على 3 . (مثلا 147 تقسم على 3 لأن 1+4+7=12 تقسم على 3 )

كيف يمكن أن نثبت شيئا مثل هذا , قد يقول البعض " ولما نثبته أصلا " في الحقيقة إذا استطعنا أن نثبت هذه النظرية نكون قد تأكدنا من صلاحيتها لأي عدد حتى لو كان عدد خاناته مائه , كما أن طريقة الإثبات هي أحد أحجار الأساس في طرق تشفير المعلومات .

لنستطيع إثبات هذه النظرية يجب أن نفهم التطابق , و هو أحد أساسيات نظرية الأعداد.

التطابق

إذا كان الباقي من قسمة a/m و الباقي من قسمة b/m يتساويان فنقول أن a , b يتطابقان للمقياس m. فمثلا5 تطابق 11 للمقياس 3 , لأن 11/3=3? و 5/3=1? و بما إن القسمتان تعطيان 2 كباقي , فالرقمان متطابقان .
و نلاحظ أنة إذا كانت a تطابق b للمقياس m فان (b/m)-(a/m) تساوي دائما عدد صحيح.
و نعرف التطابق كالأتي: (من الآن i , k أعداد صحيحة)

a=b(mod m)
إذا كان (b-a)/m=i

[ مثلا 5=11(mod 3) لأن (11-5)/3=2 ]
(mod m) مجرد رمز لتحديد مقياس التطابق مثل f(x) لا يمكن تحويلها الى xf(1) لأن f رمز يدل علي تعاملنا مع دالة


القوة الحقيقية للتطابق تكمن في أن a=b(mod m) توحي بشكل معادلة , أي أنة يمكن ضرب معادلتين ببعض ,أو جمعهما , و هذا ما سنوضحه الآن :





أفرض أن    a1=b1(mod m) ,a2=b2(mod m)
a1+k=[b1+k](mod m) .1 مثلا إذا كان 5=11(mod 3) إذن 7=13(mod 3)
a1k=b1k(mod m) .2 إذا كان 1=5(mod 4) إذن 2=10(mod 4)
a1+a2=[b1+b2](mod m) .3 أو
b1(mod m)+b2(mod m)=[b1+b2](mod m)
إذا كان 5=11(mod 3) , 7=13(mod 3) إذن 12=24(mod 3)
a1a2=b1b2(mod m) .4 أو
[b1(mod m)][b2(mod m)]=b1b2(mod m)
إذا كان 5=11(mod 3), 7=13(mod 3) إذن 35=143(mod 3)
a1k=b1k(mod m) .5 أو
[b1(mod m)]k=b1k(mod m)
إذا كان 2=10(mod 4) إذن 4=100(mod 4)


لنري قوة التطابق دعنا نري إذا كان 7524 يقسم على 11 أم لا .
معني أن الرقم a يقسم على رقم b : أن باق قسمتهما يساوي صفر , أى بلغة التطابق أن a تطابق 0 للمقياس b.(فالصفر هو الرقم الوحيد الذي إذا قسم على أي عدد يعطينا باق صفر)

0=a(mod b)

إذن نحن نحاول الآن أن نوجد قيمة 7524(mod 11)

7524(mod 11)=[7000+500+20+4](mod 11)

و من الخاصية الثالثة

7524(mod 11)=7*103(mod 11)+5*102(mod 11)+2*10(mod 11)+4(mod 11)

و من الخاصية الرابعة و الخامسة

7*103(mod 11)=[7(mod 11)][103(mod 11)]=[7(mod 11)][10(mod 11)]3

و الآن , بما أن10(mod 11)= -1

إذن 7*103(mod 11)= -7(mod 11)   و بالمثل في باقي الحسابات نجد أن

7524(mod 11) = -7(mod 11)+5(mod 11)-2(mod 11)+4(mod 11)
       = [-7+5-2+4](mod 11) = 0(mod 11) = 0

أى أن 7524 تقسم على 11 , لنحاول الآن أن نعمم ما فعلناه هنا
أى رقم n يمكن كتابته كالتالي

n=a0+a1*10+a2*102+a3*103+....+ak*10k

بما أن 0=10(mod 2) , 1=10(mod 3) , -1=10(mod 11)
  • للرقم 2 : جميع الحدود عدا a0 تساوى صفر إذن n(mod 2)=a0(mod 2), أي أن n يقسم على 2 إذا كانتa0 تقسم على 2.

  • للرقم 3 : تبقى a1 , a0 ,.... فقط أي أن n(mod 3)=[a0+a1+...+ak](mod 3)
  • للرقم 11 : n(mod 11)=[a0-a1+....](mod 11)

و بذلك نكون قد أثبتنا عدة نظريات حول قابلية القسمة , في الحقيقة هذه أحد التطبيقات البسيطة للتطابق.
فالتطابق(نظرية الأعداد عموما) أصبح ذا أهمية بالغة الآن , خاصة فى الكومبيوتر فهو يستخدم في تشفير البيانات و في طرق اكتشاف الأخطاء في نقل المعلومات.
و في العدد القادم إن شاء الله سنلقي نظرة على تطبيقات التطابق.

الإثباتات

خواص التطابق ليست مسلمات , بل هي مستنتجة من تعريف التطابق , فمثلا المسلمة الأولى و التى تنص علي أن
a1+k=[b1+k](mod m) إذا كان a1=b1(mod m)
يمكن إثباتها من تعريف التطابق كالتالي:
a1=b1(mod m) تعني أن
(b1-a1)
m
= i1
  حيث i1 آي عدد صحيح أذن بالتأكيد
(b1+k-a1-k)
m
= عدد صحيح   أذن من تعريف التطابق a1+k=[b1+k](mod m)
و فيما يلي إثبات خواص التطابق

  1. (b1+k-a1-k)
    m
    = (b1-a1)
    m
    = i1

  2. (b1k-a1k)
    m
    = k(b1-a1)
    m
    = ki1

  3. (b1+b2-a1-a2)
    m
    = (b1-a1)
    m
    + (b2-a2)
    m
    = i1+i2

  4. b1b2-a1a2
    m
    = b2a1-a1a2
    m
    + b1b2-a1b2
    m
    = i1b2+i2a1
  5. فكرأنت بها