خريطة الموقع
الصفحة الأولى
دليل الموضوعات
عن هذا الموقع
ساهم معنا
أقتراحات
أتصل بنا
مواقع للزيارة
|
|
تختلف دائما أراء الناس حسب رؤاهم المختلفة , فهناك من يري في الورود الجمال و هناك من يري الشوك في الورود كما قال إليا أبو ماضي .
و هناك من يحب الموسيقى الشرقية و هناك من يحب الغربية.
كل ينظر بمنظورة الخاص , كذلك ننظر للأرقام فمثلا ? يرها كل منا بشكل مختلف فمثلا
- طلاب الابتدائية : النسبة بين محيط الدائرة إلى نصف قطرها.
- العلماء و المهندسين: تساوي تقريبا 3.14159
- الكومبيوتر : هي رقم ثنائي علي صورة صفر و واحد 101.001.....
و لكن تري كيف يراها عالم الرياضيات.
الرياضيين لهم طريقة أخري للتعبير عن الأرقام و هي من منظور الجمال , و تسمي الكسور المستمرة.
الكسور المستمرة المنتهية :
كان أول ظهور للكسور المستمرة في القرن السادس علي يد العالم الهندي أريابهات ثم في القرن الخامس عشر علي يد فيبوناشي.
و لكن لم يظهر تعبير الكسر المستمر إلى علي يد العالم الإنجليزي جون واليز.
و الكسور المستمرة يمكن تمثيل بها أي رقم قياسي علي الصورة p/q , فمثلا
و الصورة العامة للكسر المستمر هي
و نكتبها اختصارا
x=[a0;a1,a2,a3,...]
و من الواضح أن أي رقم يمكن تمثيله علي صورة كسر مستمر لأن , قسمة أي رقمان تعطي عدد صحيح و باق للقسمة , و هذا الباقي يمكن قسمته مرة أخري لنحصل علي باق جديد حتى نحصل علي باقي يساوي واحد.
الكسور المستمرة اللانهائية:
الكسور المستمرة المنتهية تعطينا عدد قياسي , أما الأعداد الغير قياسية فتمثل بكسور لانهائية.
مثلا المعادلة x2-2x-1 = 0
يمكن إيجاد حلها بسهولة و هو 1+?2 , 1-?2
و لكن توجد طريقة أخري لحلها , بكتابتها
نضع x=1 فنجد التقريب الأول ل x و هو x=2+1/1
ثم نعوض بالتقريب الأول لنحصل علي التقريب الثاني
و بالاستمرار نجد أن
و بما أن x = 1+?2 اذن ?2 = [1;2,2,2,2,....]
و ها هي بعض الأعداد الشهيرة موضوعة في صورة كسر مستمر .
?3=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,.....]
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,.....]
p=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,...]
تقريب الأعداد الغير قياسية :
من تعريف العدد الغير القياسي نعلم أنة لا يمكن معرفة قيمته تحديدا , بل فقط قيمته صحيحة لعدة خانات عشرية .
مثلا ?=3.14 صحيحة لخانتين عشريتين .
و يمكن كتابتها علي صورة كسر ?=314/100 و لكن نحن نحفظ عن ظهر قلب تقريب أخر و هو ?=22/7 و هو صحيح أيضا لخانتين عشريتين.
وقد وجد الرياضيون أن أفضل تقريب لعدد غير قياسي ينبع من الكسر المستمر لهذا العدد.
فلحساب ? تستخدم الكسور المستمرة بدلا من المتسلسلات اللانهائية مثل
p
4
|
= 1-
|
1
3
|
+
|
1
5
|
-
|
1
7
|
+..........
|
و لحساب ? بالكسور المستمرة نكتب
و بما أن 1/15 يمكن إهمالها بالنسبة ل7 أذن
النسبة الذهبية :
كما رأينا فمن صورة الكسر المستمر نستطيع الحصول علي أحسن تقريب لعدد غير قياسي.
و نلاحظ أنة كلما كبرت قيمة a1,a2,a3,a4,.... كلما كان الوصول إلى تقريب جيد يحتاج إلى خطوات أقل.
فمثلا
إذا حسبناها بإهمال 1/2000 بالنسبة ل 1000 نحصل علي x=1.001 و إذا أهملنا 1/3000 بالنسبة ل2000 نجد أن
x=1+9.999995x10-4
و مقدار الخطاء هنا صغير جدا , اذن x يمكن حسابها بأخذ حد واحد فقط من الكسر المستمر
لذا نحن نحتاج إلى خطوات قليلة جدا للحصول علي تقريب جيد في صورة كسر.
ماذا لو كانت ai تساوي 2 إذن نحن سوف نهمل ½ بالنسبة ل 2 في أحد الخطوات , لذا نحن نحتاج خطوات كثيرة لنحصل علي تقريب جيد.
بالطبع أصغر قيمة يمكن أن تأخذها ai هي 1 , لذا فهذا الرقم هو أكثر الأرقام ابتعادا عن الصورة p/q , أي أنة أكثر الأعداد الغير قياسية في عدم قياسية.
هذا العدد هو النسبة الذهبية.
فالنسبة الذهبية هي حل المعادلة ?2-?-1 = 0
و يمكن كتابتها ?=1+1/? و بالتعويض نجد
|
|
